Como construir modelos de avaliação como o Black-Scholes
Avaliar opções pode ser um negócio complicado. Considere o seguinte cenário: Em janeiro de 2015, as ações da opção de compra sobre as ações da IBM com um preço de exercício em ATM de $ 155, esperando se beneficiar de altos retornos percentuais, com base em um pequeno custo da opção ( prêmio da opção ), em comparação com a compra de ações com um alto preço de compra.
Hoje, alguns métodos prontos diferentes estão disponíveis para opções de valor – incluindo o modelo Black-Scholes e o modelo de árvore binomial – que podem fornecer respostas rápidas. Mas quais são os fatores subjacentes e os conceitos orientadores para chegar a esses modelos de avaliação? Pode-se preparar algo semelhante, com base no conceito desses modelos?
Aqui, cobrimos os blocos de construção, os conceitos subjacentes e os fatores que podem ser usados como uma estrutura para construir um modelo de avaliação para um ativo, como opções, fornecendo uma comparação lado a lado com as origens do Black-Scholes (BS ) modelo.
Este artigo não pretende desafiar as suposições ou quaisquer outros fatores do modelo BS (que é um tópico completamente diferente); em vez disso, visa explicar o conceito subjacente do modelo Black-Scholes, juntamente com a ideia de desenvolvimento do modelo de avaliação.
O mundo antes de Black-Scholes
Antes de Black-Scholes, o Capital Asset Pricing Model (CAPM) baseado no equilíbrio era amplamente seguido. Os retornos e os riscos foram equilibrados entre si, com base na preferência do investidor, ou seja, esperava-se que um investidor de alto risco fosse compensado com (o potencial de) retornos mais elevados em uma proporção semelhante.
O modelo BS encontra suas raízes no CAPM. De acordo com Fischer Black: “Eu apliquei o Modelo de Precificação de Ativos de Capital a cada momento da vida de um mandado, para cada preço de ação e valor de garantia possíveis. Infelizmente, o CAPM não foi capaz de cumprir o requisito deprecificaçãode garantia (opção).
Black-Scholes continua sendo o primeiro modelo, baseado no conceito de arbitragem, fazendo uma mudança de paradigma dos modelos baseados em risco (como o CAPM). Este novo desenvolvimento do modelo BS substituiu o conceito de retorno de ações CAPM com o reconhecimento do fato de que uma posição perfeitamente protegida ganhará uma taxa livre de risco. Isso eliminou as variações de risco e retorno e estabeleceu o conceito de arbitragem em que as avaliações são realizadas com base em premissas de conceito neutro ao risco – uma posição protegida (sem risco) deve levar a uma taxa de retorno livre de risco.
O Desenvolvimento de Black-Scholes
Vamos começar estabelecendo o problema, quantificando-o e desenvolvendo uma estrutura para sua solução. Continuamos com nosso exemplo de avaliação da opção de compra de ATM na IBM com um preço de exercício de $ 155 com um ano para expirar.
Com base na definição básica de uma opção de compra, a menos que o preço da ação atinja o nível do preço de exercício, o retorno permanece zero. Após esse nível, o retorno aumenta linearmente (ou seja, um aumento de um dólar no subjacente fornecerá um retorno de um dólar da opção de compra).
Supondo que o comprador e o vendedor concordem com a avaliação justa (incluindo preço zero), o preço justo teórico para esta opção de compra será:
- Preço da opção de compra = $ 0, se subjacente <strike (gráfico vermelho)
- Preço da opção de compra = (subjacente — strike), se subjacente> = strike (gráfico azul)
Isso representa o valor intrínseco da opção e parece perfeito do ponto de vista de um comprador de opção de compra. Na região vermelha, tanto o comprador quanto o vendedor têm uma avaliação justa (preço zero para o vendedor, retorno zero para o comprador). No entanto, o desafio da avaliação começa com a região azul, pois o comprador tem a vantagem de um retorno positivo, enquanto o vendedor sofre uma perda (desde que o preço subjacente fique acima do preço de exercício). É aqui que o comprador tem vantagem sobre o vendedor com preço zero. O preço deve ser diferente de zero para compensar o vendedor pelo risco que está assumindo.
No primeiro caso (gráfico vermelho), teoricamente, o preço zero é recebido pelo vendedor e não há potencial de retorno zero para o comprador (justo para ambos). Neste último caso (gráfico azul), o diferencial entre o subjacente e o strike será pago pelo vendedor ao comprador. O risco do vendedor se estende por um ano inteiro. Por exemplo, o preço da ação subjacente pode subir muito (digamos, $ 200 em quatro meses) e o vendedor deve pagar ao comprador o diferencial de $ 45.
Assim, tudo se resume a:
- O preço do subjacente ultrapassará o preço de exercício?
- Em caso afirmativo, quão alto pode o preço subjacente (pois isso determinará o retorno para o comprador)?
Isso indica o grande risco assumido pelo vendedor, o que leva à pergunta: por que alguém venderia tal opção de compra, se não ganha nada pelo risco que está assumindo?
Nosso objetivo é chegar a um preço único que o vendedor deve cobrar do comprador, que pode compensá-lo pelo risco geral que ele está assumindo ao longo de um ano – tanto na região de pagamento zero (vermelho) quanto na região de pagamento linear (azul). O preço deve ser justo e aceitável para o comprador e o vendedor. Caso contrário, aquele que está em desvantagem em termos de pagamento ou recebimento de preço injusto não participará do mercado, anulando o propósito do negócio de comercialização. O modelo Black-Scholes visa estabelecer esse preço justo considerando a variação constante do preço da ação, o valor do dinheiro no tempo, o preço de exercício da opção e o tempo até o vencimento da opção. Semelhante ao modelo BS, vamos ver como podemos avaliar isso para nosso exemplo usando nossos próprios métodos.
Como avaliar o valor intrínseco na região azul?
Alguns métodos estão disponíveis para prever o movimento de preço esperado no futuro durante um determinado período de tempo:
- Pode-se analisar movimentos de preços semelhantes com a mesma duração no passado recente. O preço de fechamento histórico da IBM indica que no último ano (2 de janeiro de 2014 a 31 de dezembro de 2014), o preço caiu para $ 160,44 de $ 185,53, um declínio de 13,5%. Podemos concluir uma mudança de preço de -13,5% para a IBM?
- Uma verificação mais detalhada indica que atingiu um máximo anual de $ 199,21 (em 10 de abril de 2014) e um mínimo anual de $ 150,5 (em 16 de dezembro de 2014). Baseando-se no dia de início, 2 de janeiro de 2014, e no preço de fechamento de $ 185,53, a variação percentual varia de + 7,37% a -18,88%. Agora, a faixa de variação parece muito mais ampla em comparação com o declínio calculado anteriormente de 13,5%.
