Os usos e limites da volatilidade
Os investidores gostam de focar na promessa de retornos elevados, mas também devem perguntar quanto risco devem assumir em troca desses retornos. Embora falemos freqüentemente de risco em um sentido geral, também existem expressões formais da relação risco-recompensa.
Por exemplo, o índice de Sharpe mede o excesso de retorno por unidade de risco, onde o risco é calculado como volatilidade, que é uma medida de risco tradicional e popular. Suas propriedades estatísticas são bem conhecidas e alimentam diversos frameworks, como a moderna teoria de portfólio e o modelo de Black-Scholes. Neste artigo, examinamos a volatilidade para entender seus usos e limites.
Desvio Padrão Anualizado
Ao contrário da volatilidade implícita – que pertence à teoria de precificação de opções e é uma estimativa prospectiva baseada em um consenso de mercado – a volatilidade regular olha para trás. Especificamente, é o desvio padrão anualizado dos retornos históricos.
As estruturas de risco tradicionais que dependem do desvio padrão geralmente assumem que os retornos estão em conformidade com uma distribuição normal em forma de sino. As distribuições normais nos fornecem orientações úteis: em cerca de dois terços do tempo (68,3%), os retornos devem estar dentro de um desvio padrão (+/-); e 95% das vezes, os retornos devem estar dentro de dois desvios-padrão. Duas qualidades de um gráfico de distribuição normal são “caudas” finas e simetria perfeita. Caudas estreitas implicam em uma ocorrência muito baixa (cerca de 0,3% do tempo) de retornos que estão a mais de três desvios-padrão da média. Simetria implica que a frequência ea magnitude do upside ganhos é uma imagem espelho de descendentes perdas.
Conseqüentemente, os modelos tradicionais tratam todas as incertezas como riscos, independentemente da direção. Como muitas pessoas mostraram, isso é um problema se os retornos não forem simétricos – os investidores se preocupam com suas perdas “à esquerda” da média, mas não se preocupam com os ganhos à direita da média.
Ilustramos essa peculiaridade abaixo com duas ações fictícias. O estoque em queda (linha azul) é totalmente sem dispersão e, portanto, produz uma volatilidade de zero, mas o estoque em alta – porque exibe vários choques de alta, mas não uma única queda – produz uma volatilidade (desvio padrão) de 10%.
Propriedades Teóricas
Por exemplo, quando calculamos a volatilidade para o índice S&P 500 em 31 de janeiro de 2004, obtemos algo entre 14,7% e 21,1%. Por que esse intervalo? Porque devemos escolher um intervalo e um período histórico. Em relação ao intervalo, poderíamos coletar uma série de retornos mensais, semanais ou diários (mesmo intra-diários). E nossa série de retornos pode se estender por um período histórico de qualquer duração, como três anos, cinco anos ou 10 anos. Abaixo, calculamos o desvio padrão dos retornos para o S&P 500 ao longo de um período de 10 anos, usando três intervalos diferentes:
Observe que a volatilidade aumenta à medida que o intervalo aumenta, mas não quase em proporção: o semanal não é quase cinco vezes o valor diário e o mensal não é quase quatro vezes o semanal. Chegamos a um aspecto-chave da teoria do passeio aleatório : escalas de desvio padrão (aumenta) em proporção à raiz quadrada do tempo. Portanto, se o desvio padrão diário for 1,1%, e se houver 250 dias de negociação em um ano, o desvio padrão anualizado será o desvio padrão diário de 1,1% multiplicado pela raiz quadrada de 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Sabendo disso, podemos anualizar os desvios padrão de intervalo para o S&P 500 multiplicando pela raiz quadrada do número de intervalos em um ano:
Outra propriedade teórica da volatilidade pode ou não surpreendê-lo: ela corrói os retornos. Isso se deve ao pressuposto fundamental da ideia do passeio aleatório: que os retornos são expressos em porcentagens. Imagine que você comece com $ 100 e ganhe 10% para obter $ 110. Então você perde 10%, o que resulta em $ 99 ($ 110 x 90% = $ 99). Então você ganha 10% novamente, para $ 108,90 líquidos ($ 99 x 110% = $ 108,9). Finalmente, você perde 10% para $ 98,01 líquidos. Pode ser contra-intuitivo, mas seu principal está se desgastando lentamente, embora seu ganho médio seja de 0%!
Se, por exemplo, você espera um ganho médio anual de 10% ao ano (ou seja, média aritmética), descobre-se que o ganho esperado de longo prazo é algo inferior a 10% ao ano. Na verdade, será reduzido em cerca de metade da variância (onde a variância é o desvio padrão ao quadrado). No hipotético puro abaixo, começamos com $ 100 e, em seguida, imaginamos cinco anos de volatilidade para terminar com $ 157:
Devoluções são bem comportadas? O arcabouço teórico é sem dúvida elegante, mas depende de retornos bem comportados. Ou seja, uma distribuição normal e um passeio aleatório (ou seja, independência de um período para o outro). Como isso se compara à realidade? Coletamos retornos diários nos últimos 10 anos para o S&P 500 e o Nasdaq abaixo (cerca de 2.500 observações diárias):
Como você pode esperar, a volatilidade do Nasdaq (desvio padrão anualizado de 28,8%) é maior do que a volatilidade do S&P 500 (desvio padrão anualizado de 18,1%). Podemos observar duas diferenças entre a distribuição normal e os retornos reais. Primeiro, os retornos reais têm picos mais altos – o que significa uma maior preponderância de retornos perto da média. Em segundo lugar, os retornos reais têm caudas mais grossas. (Nossos resultados se alinham um pouco com estudos acadêmicos mais extensos, que também tendem a encontrar picos altos e caudas grossas; o termo técnico para isso é curtose ). Digamos que consideremos menos três desvios padrão uma grande perda: o S&P 500 sofreu uma perda diária de menos três desvios padrão em cerca de -3,4% do tempo. A curva normal prevê que tal perda ocorreria cerca de três vezes em 10 anos, mas na verdade aconteceu 14 vezes!
Essas são distribuições de retornos em intervalos separados, mas o que a teoria diz sobre os retornos ao longo do tempo? Como teste, vamos dar uma olhada nas distribuições diárias reais do S&P 500 acima. Nesse caso, o retorno médio anual (nos últimos 10 anos) foi de cerca de 10,6% e, conforme discutido, a volatilidade anualizada foi de 18,1%. Aqui, realizamos um teste hipotético começando com US $ 100 e mantendo-o por 10 anos, mas expomos o investimento a cada ano a um resultado aleatório de média de 10,6% com desvio padrão de 18,1%. Este teste foi feito 500 vezes, tornando-se uma chamada simulação de Monte Carlo. Os resultados do preço final de 500 testes são mostrados abaixo:
Uma distribuição normal é mostrada como pano de fundo apenas para destacar os resultados de preços muito anormais. Tecnicamente, os resultados do preço final são lognormal (significando que se o eixo x fosse convertido para o log natural de x, a distribuição pareceria mais normal). A questão é que vários resultados de preços estão mais à direita: de 500 testes, seis resultados produziram um resultado de final de período de $ 700! Esses poucos resultados preciosos conseguiram ganhar mais de 20% em média, a cada ano, ao longo de 10 anos. No lado esquerdo, como um saldo em declínio reduz os efeitos cumulativos das perdas percentuais, obtivemos apenas alguns resultados finais inferiores a $ 50. Para resumir uma ideia difícil, podemos dizer que os retornos de intervalo – expressos em termos percentuais – são normalmente distribuídos, mas os resultados do preço final são log-normalmente distribuídos.
Finalmente, outra descoberta de nossos testes é consistente com os “efeitos de erosão” da volatilidade: se seu investimento ganhasse exatamente a média de cada ano, você manteria cerca de $ 273 no final (10,6% compostos em 10 anos). Mas, neste experimento, nosso ganho geral esperado estava perto de US $ 250. Em outras palavras, o ganho médio (aritmético) anual foi de 10,6%, mas o ganho acumulado (geométrico) foi menor.
É fundamental ter em mente que nossa simulação assume um passeio aleatório: ela assume que os retornos de um período para o seguinte são totalmente independentes. Não provamos isso de forma alguma, e não é uma suposição trivial. Se você acredita que os retornos seguem tendências, está tecnicamente dizendo que eles mostram uma correlação serial positiva. Se você acha que eles voltam à média, então, tecnicamente, você está dizendo que eles mostram uma correlação serial negativa. Nenhuma das posturas é consistente com a independência.
A volatilidade da linha de fundo é o desvio padrão anualizado dos retornos. No arcabouço teórico tradicional, ele não apenas mede o risco, mas também afeta a expectativa de retornos de longo prazo (multiperíodo). Como tal, ele nos pede para aceitar as suposições duvidosas de que os retornos de intervalo são normalmente distribuídos e independentes. Se essas suposições forem verdadeiras, a alta volatilidade é uma faca de dois gumes: ela corrói seu retorno esperado de longo prazo (reduz a média aritmética à média geométrica), mas também fornece mais chances de obter alguns grandes ganhos.