Duração Macaulay vs. Duração Modificada

A duração Macaulay e a duração modificada são usadas principalmente para calcular a duração dos títulos. A duração Macaulay calcula o tempo médio ponderado antes que o portador do título receba os fluxos de caixa do título. Por outro lado, a duração modificada mede a sensibilidade ao preço de um título quando há uma mudança no rendimento até o vencimento.

A duração de Macaulay

A duração Macaulay é calculada multiplicando o período de tempo pelo pagamento periódico do cupom e dividindo o valor resultante por 1 mais o rendimento periódico gerado até o vencimento. Em seguida, o valor é calculado para cada período e adicionado. Em seguida, o valor resultante é adicionado ao número total de períodos multiplicado pelo  valor nominal, dividido por 1, mais o rendimento periódico elevado ao número total de períodos. Em seguida, o valor é dividido pelo preço atual do título.

O preço de um título é calculado multiplicando o fluxo de caixa por 1, menos 1, dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, elevado ao número de períodos dividido pelo rendimento exigido. O valor resultante é adicionado ao valor nominal, ou valor de vencimento, do título dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento aumentado para o número total de períodos.

Por exemplo, suponha que a duração Macaulay de um título de cinco anos com um valor de vencimento de $ 5.000 e uma taxa de cupom de 6% é 4,87 anos ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

A duração modificada deste título, com rendimento até o vencimento de 6% por um período de cupom, é de 4,59 anos (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Portanto, se o rendimento até o vencimento aumentar de 6% para 7%, o a duração do título diminuirá em 0,28 anos (4,87 – 4,59).

A fórmula para calcular a variação percentual no preço do título é a variação no rendimento multiplicada pelo valor negativo da duração modificada multiplicado por 100%. Essa mudança percentual resultante no título, para um aumento de rendimento de 1%, é calculada em -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).

A duração modificada

Hodified Duration=Mumcumuley Duration(1+YTMn)wHeRe:YTM=yield to maturityn=number of coupon periods per yo eumr\ begin {align} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {onde:} \\ & YTM = \ text {rendimento até o vencimento} \\ & n = \ text {número de períodos de cupom por ano} \ final {alinhado}​Duração Modificada=( 1+n

A  duração modificada  é uma versão ajustada da duração Macaulay, que leva em consideração a mudança do rendimento para os vencimentos. A fórmula para a duração modificada é o valor da duração Macaulay dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, dividido pelo número de períodos de cupom por ano. A duração modificada determina as mudanças na duração e no preço de um título para cada  variação percentual  no rendimento até o vencimento.1

Por exemplo, suponha que um título de seis anos tenha um valor nominal de $ 1.000 e uma taxa de cupom anual de 8%. A duração de Macaulay é calculada em 4,99 anos ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

A duração modificada deste título, com rendimento até o vencimento de 8% por um período de cupom, é de 4,62 anos (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Portanto, se o rendimento até o vencimento aumentar de 8% para 9%, a duração do título diminuirá em 0,37 anos (4,99 – 4,62).

A fórmula para calcular a variação percentual no preço do título é a variação no rendimento multiplicada pelo valor negativo da duração modificada multiplicado por 100%. Essa variação percentual resultante no título, para um aumento da taxa de juros de 8% para 9%, é calculada em -4,62% ​​(0,01 * – 4,62 * 100%).

Portanto, se as taxas de juros subirem 1% durante a noite, o preço do título deverá cair 4,62%.

A duração modificada e os swaps de taxas de juros

A duração modificada poderia ser estendida para calcular o número de anos que um swap de taxa de juros levaria para reembolsar o preço pago pelo swap. Um swap de taxa de juros é a troca de um conjunto de fluxos de  caixa  por outro e é baseado em especificações de taxas de juros entre as partes.

A duração modificada é calculada dividindo o valor em dólar de uma mudança de um ponto base de uma perna de swap de taxa de juros, ou série de fluxos de caixa, pelo valor presente da série de fluxos de caixa. O valor é então multiplicado por 10.000. A duração modificada para cada série de fluxos de caixa também pode ser calculada dividindo o valor em dólar de uma variação de ponto base da série de fluxos de caixa pelo valor nocional mais o valor de mercado. A fração é então multiplicada por 10.000.

A duração modificada de ambas as pontas deve ser calculada para calcular a duração modificada do  swap de taxa de juros. A diferença entre as duas durações modificadas é a duração modificada do swap de taxa de juros. A fórmula para a duração modificada do swap de taxa de juros é a duração modificada da ponta receptora menos a duração modificada da ponta pagadora.

Por exemplo, suponha que o banco A e o banco B entrem em um swap de taxa de juros. A duração modificada da ponta de recebimento de um swap é calculada como nove anos e a duração modificada da ponta de pagamento é calculada como cinco anos. A duração modificada resultante do swap de taxa de juros é de quatro anos (9 anos – 5 anos).

Comparando a duração Macaulay e a duração modificada

Uma vez que a duração Macaulay mede o tempo médio ponderado que um investidor deve manter um título até que o valor presente dos fluxos de caixa do título seja igual ao valor pago pelo título, é frequentemente usado por gestores de títulos que procuram gerenciar o risco da carteira de títulos com estratégias de imunização.

Em contraste, a duração modificada identifica o quanto a duração muda para cada mudança percentual no rendimento enquanto mede o quanto uma mudança nas taxas de juros afeta o preço de um título. Assim, a duração modificada pode fornecer uma medida de risco para investidores em títulos, aproximando quanto o preço de um título poderia diminuir com um aumento nas taxas de juros. É importante notar que os preços dos títulos e as taxas de juros têm uma  relação inversa  entre si.