Usando métodos de distribuição de probabilidade de ações comuns

Desenho de distribuição de probabilidade

Quase independentemente de sua visão sobre a previsibilidade ou eficiência dos mercados, você provavelmente concordará que, para a maioria dos ativos, os retornos garantidos são incertos ou arriscados. Se ignorarmos a matemática subjacente às distribuições de probabilidade, podemos ver que são imagens que descrevem uma visão particular da incerteza. A distribuição de probabilidade é um cálculo estatístico que descreve a chance de uma determinada variável cair entre ou dentro de um intervalo específico em um gráfico de plotagem.

A incerteza se refere à aleatoriedade. É diferente de uma falta de previsibilidade ou ineficiência do mercado. Uma visão de pesquisa emergente afirma que os mercados financeiros são incertos e previsíveis. Além disso, os mercados podem ser eficientes, mas também incertos.

Em finanças, usamos distribuições de probabilidade para desenhar imagens que ilustram nossa visão da sensibilidade do retorno de um ativo quando pensamos que o retorno do ativo pode ser considerado uma variável aleatória. Neste artigo, examinaremos algumas das distribuições de probabilidade mais populares e mostraremos como calculá-las.

As distribuições podem ser categorizadas como discretas ou contínuas e por ser uma função de densidade de probabilidade (PDF) ou uma distribuição cumulativa.

Distribuições discretas vs. contínuas

Discreto se refere a uma variável aleatória retirada de um conjunto finito de resultados possíveis. Um dado de seis lados, por exemplo, tem seis resultados distintos. Uma distribuição contínua se refere a uma variável aleatória retirada de um conjunto infinito. Exemplos de variáveis ​​aleatórias contínuas incluem velocidade, distância e alguns retornos de ativos. Uma variável aleatória discreta é ilustrada normalmente com pontos ou traços, enquanto uma variável contínua é ilustrada com uma linha sólida. A figura abaixo mostra distribuições discretas e contínuas para uma distribuição normal com média (valor esperado) de 50 e um desvio padrão de 10:

A distribuição é uma tentativa de mapear a incerteza. Nesse caso, um resultado de 50 é o mais provável, mas só acontecerá cerca de 4% das vezes; um resultado de 40 é um desvio padrão abaixo da média e ocorrerá pouco menos de 2,5% das vezes.

Densidade de probabilidade vs. distribuição cumulativa

A outra distinção é entre a função de densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição cumulativa. O PDF é a probabilidade de que nossa variável aleatória atinja um valor específico (ou no caso de uma variável contínua, de cair entre um intervalo). Mostramos que ao indicar a probabilidade de que uma variável aleatória X  seja igual a um valor real x:

A distribuição cumulativa é a probabilidade de que a variável aleatória X  seja menor ou igual ao valor real x:

P
​P[x<=X]​

ou, por exemplo, se sua altura for uma variável aleatória com um valor esperado de 5’10 “polegadas (a altura média de seus pais), a pergunta do PDF é:” Qual é a probabilidade de você atingir uma altura de 5’4 “? ” A pergunta da função de distribuição cumulativa correspondente é: “Qual é a probabilidade de você ser menor que 5’4”? “

A figura acima mostrou duas distribuições normais. Agora você pode ver que esses são gráficos de função de densidade de probabilidade (PDF). Se remarcarmos exatamente a mesma distribuição como uma distribuição cumulativa, obteremos o seguinte:

A distribuição cumulativa deve chegar a 1,0 ou 100% no eixo y. Se elevarmos a barra alto o suficiente, então, em algum ponto, virtualmente todos os resultados cairão abaixo dessa barra (poderíamos dizer que a distribuição é tipicamente assintótica para 1,0).

As finanças, uma ciência social, não são tão limpas quanto as ciências físicas. A gravidade, por exemplo, tem uma fórmula elegante com a qual podemos confiar continuamente. Os retornos dos ativos financeiros, por outro lado, não podem ser replicados de forma tão consistente. Uma quantidade impressionante de dinheiro foi perdida ao longo dos anos por pessoas inteligentes que confundiram as distribuições precisas (ou seja, como se derivadas das ciências físicas) com as aproximações confusas e não confiáveis ​​que tentam representar os retornos financeiros. Em finanças, as distribuições de probabilidade são pouco mais do que representações pictóricas grosseiras.

Distribuição uniforme

A distribuição mais simples e popular é a distribuição uniforme, na qual todos os resultados têm chances iguais de ocorrer. Uma matriz de seis lados tem uma distribuição uniforme. Cada resultado tem uma probabilidade de cerca de 16,67% (1/6). Nosso gráfico abaixo mostra a linha sólida (para que você possa ver melhor), mas tenha em mente que esta é uma distribuição discreta – você não pode rolar 2,5 ou 2,11:

Agora, lance dois dados juntos, como mostrado na figura abaixo, e a distribuição não é mais uniforme. Ele atinge o pico em sete, o que tem uma chance de 16,67%. Neste caso, todos os outros resultados são menos prováveis:

Agora, role três dados juntos, conforme mostrado na figura abaixo. Começamos a ver os efeitos de um teorema mais surpreendente: o teorema do limite central. O teorema do limite central corajosamente promete que a soma ou média de uma série de variáveis ​​independentes tenderá a se tornar normalmente distribuída, independentemente de sua própria distribuição. Nossos dados são individualmente uniformes, mas combinam-nos e – à medida que adicionamos mais dados – quase que magicamente sua soma tenderá para a distribuição normal familiar.

Distribuição binomial

A distribuição binomial reflete uma série de tentativas “ou / ou”, como uma série de cara ou coroa. Eles são chamados de ensaios de Bernoulli – que se referem a eventos que têm apenas dois resultados – mas você não precisa de probabilidades iguais (50/50). A distribuição binomial abaixo representa uma série de 10 lançamentos de moeda em que a probabilidade de cara é de 50% (p-0,5). Você pode ver na figura abaixo que a chance de exatamente cinco caras e cinco coroas (a ordem não importa) é tímida em 25%:

Se a distribuição binomial parece normal para você, você está correto sobre isso. Conforme o número de tentativas aumenta, o binômio tende para a distribuição normal.

Distribuição Lognormal

A distribuição lognormal é muito importante em finanças porque muitos dos modelos mais populares assumem que os preços das ações são distribuídos lognormalmente. É fácil confundir retornos de ativos com níveis de preços.

Os retornos dos ativos são frequentemente tratados como normais – uma ação pode subir 10% ou cair 10%. Os níveis de preços são frequentemente tratados como log-normais – uma ação de $ 10 pode subir até $ 30, mas não pode cair para – $ 10. A distribuição lognormal é diferente de zero e inclinada para a direita (novamente, uma ação não pode cair abaixo de zero, mas não tem limite teórico de alta):

Poisson

A distribuição de Poisson é usada para descrever as chances de um determinado evento (por exemplo, uma perda diária do portfólio abaixo de 5%) ocorrer durante um intervalo de tempo. Portanto, no exemplo abaixo, assumimos que algum processo operacional tem uma taxa de erro de 3%. Além disso, assumimos 100 ensaios aleatórios; a distribuição de Poisson descreve a probabilidade de obter um certo número de erros ao longo de um período de tempo, como um único dia.

T do aluno

A distribuição T do aluno também é muito popular porque tem uma “cauda mais gorda” do que a distribuição normal. O T do aluno é usado normalmente quando o tamanho da nossa amostra é pequeno (ou seja, menos de 30). Em finanças, a cauda esquerda representa as perdas. Portanto, se o tamanho da amostra for pequeno, ousamos subestimar as chances de uma grande perda. A cauda mais gorda no T do aluno nos ajudará aqui. Mesmo assim, acontece que a cauda gorda dessa distribuição muitas vezes não é gorda o suficiente. Os retornos financeiros tendem a exibir, em raras ocasiões catastróficas, perdas realmente fat-tail (ou seja, mais gordas do que o previsto pelas distribuições). Grandes somas de dinheiro foram perdidas ao enfatizar esse ponto.

Distribuição Beta

Finalmente, a distribuição beta (não deve ser confundida com o parâmetro beta no modelo de precificação de ativos de capital ) é popular com modelos que estimam as taxas de recuperação em carteiras de títulos. A distribuição beta é o reprodutor utilitário das distribuições. Como o normal, ele precisa de apenas dois parâmetros (alfa e beta), mas eles podem ser combinados para uma flexibilidade notável. Quatro distribuições beta possíveis são ilustradas abaixo:

The Bottom Line

Como tantos sapatos em nosso armário de sapatos estatísticos, tentamos escolher o melhor ajuste para a ocasião, mas não sabemos realmente o que o tempo nos reserva. Podemos escolher uma distribuição normal e depois descobrir que ela subestimou as perdas na cauda esquerda; portanto, mudamos para uma distribuição distorcida, apenas para descobrir que os dados parecem mais “normais” no próximo período. A matemática elegante por baixo pode seduzi-lo a pensar que essas distribuições revelam uma verdade mais profunda, mas é mais provável que sejam meros artefatos humanos. Por exemplo, todas as distribuições que analisamos são bastante suaves, mas alguns retornos de ativos aumentam descontinuamente.

A distribuição normal é onipresente e elegante e requer apenas dois parâmetros (média e distribuição). Muitas outras distribuições convergem para o normal (por exemplo, binomial e Poisson). No entanto, muitas situações, como retornos de fundos de hedge, carteiras de crédito e eventos de perda severa, não merecem as distribuições normais.