22 Junho 2021 18:31

Juros Compostos Contínuos

Os juros compostos são os juros calculados sobre o principal inicial   e também sobre os juros acumulados de períodos anteriores de um depósito ou empréstimo. O efeito dos juros compostos depende da frequência.

Suponha uma taxa de juros anual de 12%. Se começarmos o ano com $ 100 e compostos apenas uma vez, no final do ano, o principal aumentará para $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). Os juros aplicados apenas ao principal são chamados de juros simples. Se, em vez disso, acumularmos 1% a cada mês, terminaremos com mais de $ 112 no final do ano. Ou seja, $ 100 x 1,01 ^ 12 é igual a $ 112,68. (É mais alto porque combinamos com mais frequência.)

Retornos continuamente compostos aumentam com mais freqüência. A composição contínua é o limite matemático que os juros compostos podem atingir. É um caso extremo de capitalização, uma vez que a maioria dos juros é composta mensalmente, trimestralmente ou semestralmente.

Principais vantagens

  • Os juros simples são aplicados apenas ao principal e não aos juros acumulados.
  • Os juros compostos são os juros acumulados sobre o principal e os juros previamente aplicados.
  • O efeito dos juros compostos depende da frequência com que são aplicados.
  • Para títulos, o rendimento equivalente do título é o retorno anual esperado.
  • A composição contínua da escala de retornos ao longo de vários períodos.
  • Diz-se que os juros compostos em sua frequência mais alta são compostos continuamente.

Taxas semestrais de retorno

Primeiro, vamos dar uma olhada em uma rendimento equivalente ao título (ou base equivalente ao título). Isso significa que se um título rende 6% semestralmente, seu rendimento equivalente ao título é de 12%.

O rendimento semestral é simplesmente duplicado. Isso é potencialmente confuso porque o rendimento efetivo de um título de rendimento equivalente a 12% é 12,36% (ou seja, 1,06 ^ 2 = 1,1236). Dobrar o rendimento semestral é apenas uma convenção de nomenclatura de títulos. Portanto, se lermos sobre um título de 8% composto semestralmente, presumimos que se refere a um rendimento semestral de 4%.

Taxas de retorno trimestrais, mensais e diárias

Agora, vamos discutir as frequências mais altas. Ainda estamos assumindo uma taxa de juros de mercado de 12% ao ano. De acordo com as convenções de nomenclatura de títulos, isso implica uma taxa composta semestral de 6%. Podemos agora expressar a taxa composta trimestral como uma função da taxa de juros de mercado.

Dada uma taxa de mercado anual ( r), a taxa composta trimestral ( r q ) é dada por:

Então, para o nosso exemplo, onde a taxa anual de mercado é 12%, a taxa composta trimestral é 11,825%:

rq=4
​rq​=4[(2

Uma lógica semelhante se aplica à composição mensal. A taxa composta mensal ( r m ) é dada aqui como a função da taxa de juros anual do mercado ( r):

A taxa composta diária ( d) em função da taxa de juros de mercado ( r) é dada por:

rd=360
rd​​=360[(2

Como funciona a composição contínua

Se aumentarmos a frequência composta até seu limite, estaremos compondo continuamente. Embora isso possa não ser prático, a taxa de juros composta continuamente oferece propriedades maravilhosamente convenientes. Acontece que a taxa de juros composta continuamente é dada por:


Com incrementos menores de tempo, a quantia de juros ganha é infinitamente pequena.

Ln () é o logaritmo natural e, em nosso exemplo, a taxa composta continuamente é, portanto:

rconteunvocêovocês=em⁡(1+0.12)=em⁡(1.12)≅11.33%\ begin {alinhado} & r_ {contínuo} = \ ln (1 + 0,12) = \ ln (1,12) \ cong 11,33 \% \\ \ end {alinhado}​rcontinuous​=ln(1+0.12)=Ln(1.12)≅11.33%​

Chegamos ao mesmo lugar tomando o logaritmo natural dessa proporção: o valor final dividido pelo valor inicial.

rconteunvocêovocês=em⁡(ValueEndValueStart)=em⁡(112100)≅11.33%\ begin {alinhado} & r_ {contínuo} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ esquerda (\ frac {112} {100} \ direita) \ cong 11.33 \% \\ \ end {alinhado}​rcontinuous​=ln(ValorComeçar​

O último é comum ao calcular o retorno continuamente composto de uma ação. Por exemplo, se o estoque saltar de $ 10 em um dia para $ 11 no dia seguinte, o retorno diário composto continuamente é dado por:

rconteunvocêovocês=em⁡(ValueEndValueStart)=em⁡($11$10)≅9.53%\ begin {alinhado} & r_ {contínuo} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ esquerda (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ direita) \ cong 9,53 \% \\ \ end {alinhado}​rcontinuous​=ln(ValorComeçar​

O que há de tão bom na taxa composta continuamente (ou retorno) que denotaremos com r c? Primeiro, é fácil escalonar para frente. Dado um princípio de (P), nossa riqueza final ao longo de (n) anos é dada por:

C=Percn\ begin {alinhado} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {alinhado}​C=Perc​n​

Observe que  e  é a função exponencial. Por exemplo, se começarmos com $ 100 e compostos continuamente em 8% ao longo de três anos, a riqueza final é dada por:

C=$100e(0.08)(3)=$127.12\ begin {alinhado} & w = \ $ 100e ^ {(0,08) (3)} = \ $ 127,12 \\ \ end {alinhado}​C=$100e(0.08)(3)=$127.12​

O desconto para o valor presente (PV) é meramente composto ao contrário, então o valor presente de um valor futuro (F) composto continuamente a uma taxa de ( r c ) é dado por:

PV SF F received in (n) yeumrs=Fercn=Fe-rcn\ begin {alinhado} & \ text {PV de F recebido em (n) anos} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {alinhado}​PV de F recebido em (n) anos=erc​n

Por exemplo, se você vai receber $ 100 em três anos sob uma taxa contínua de 6%, seu valor presente é dado por:

PV=Fe-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53\ begin {alinhado} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0,06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0,18} \ cong \ $ 83,53 \\ \ end {alinhado}​PV=Fe-rc​n=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53​

Dimensionamento em vários períodos

A propriedade conveniente dos retornos compostos continuamente é que eles são escalonados em vários períodos. Se o retorno do primeiro período for de 4% e o do segundo período for de 3%, o retorno de dois períodos será de 7%. Considere que começamos o ano com $ 100, que aumenta para $ 120 no final do primeiro ano e, em seguida, $ 150 no final do segundo ano. Os retornos compostos continuamente são, respectivamente, 18,23% e 22,31%.

em⁡(120100)≅18.23%\ begin {alinhado} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {alinhado}​ln(100

em⁡(150120)≅22.31%\ begin {alinhado} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {alinhado}​ln(120

Se simplesmente somarmos todos, obtemos 40,55%. Este é o retorno de dois períodos:

em⁡(150100)≅40.55%\ begin {alinhado} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40.55 \% \\ \ end {alinhado}​ln(100

Tecnicamente falando, o retorno contínuo é consistente com o tempo. A consistência do tempo é um variável aleatória normalmente distribuída, queremos que as variáveis ​​aleatórias de período múltiplo também sejam distribuídas normalmente. Além disso, o retorno composto continuamente por múltiplos períodos é normalmente distribuído (ao contrário, digamos, de um retorno percentual simples).

Perguntas frequentes sobre composição contínua

O que significa ser composto continuamente?

Ser composto continuamente significa que não há limite para a frequência com que os juros podem ser compostos. A combinação contínua pode ocorrer um número infinito de vezes, o que significa que um saldo está sempre rendendo juros.

Composto continuamente significa diário?

Composto continuamente significa que o interesse é composto a cada momento, mesmo no menor período de tempo quantificável. Portanto, compostos continuamente ocorrem com mais freqüência do que diariamente.

Por que a composição contínua é usada?

A composição contínua é usada para mostrar quanto um saldo pode render quando os juros estão constantemente acumulando. Para os investidores, eles podem calcular quanto esperam receber de um investimento que gere uma taxa de juros composta continuamente.

Qual é a diferença entre composição discreta e contínua?

A composição discreta aplica juros em momentos específicos, como diário, mensal, trimestral ou anual. A composição discreta define explicitamente o tempo em que os juros serão aplicados. A composição contínua aplica juros continuamente, em todos os momentos.

Qual é a diferença entre composições anuais e contínuas?

Combinar anualmente significa que os juros são aplicados ao principal e os juros previamente acumulados anualmente; ao passo que a composição contínua significa que os juros são aplicados ao principal e aos juros acumulados a cada momento. Não há uma fração de tempo em que os juros não sejam aplicados com composição contínua.

The Bottom Line

Podemos reformular as taxas de juros anuais em taxas de juros semestrais, trimestrais, mensais ou diárias (ou taxas de retorno). A composição mais frequente é a composição contínua, que exige o uso de um log natural e uma função exponencial, comumente usada em finanças devido às suas propriedades desejáveis. Combinar continuamente retorna escala facilmente em vários períodos e é consistente com o tempo.

 

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