Definição do Teorema de Bayes
O que é o teorema de Bayes?
O teorema de Bayes, em homenagem ao matemático britânico do século 18 Thomas Bayes, é uma fórmula matemática para determinar a probabilidade condicional. A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um resultado, com base na ocorrência de um resultado anterior. O teorema de Bayes fornece uma maneira de revisar as previsões ou teorias existentes (atualizar as probabilidades) com base em evidências novas ou adicionais. Em finanças, o teorema de Bayes pode ser usado para avaliar o risco de emprestar dinheiro a potenciais tomadores de empréstimos.
O teorema de Bayes também é chamado de Regra de Bayes ou Lei de Bayes e é a base do campo da estatística bayesiana.
Principais vantagens
- O teorema de Bayes permite que você atualize as probabilidades previstas de um evento incorporando novas informações.
- O teorema de Bayes foi nomeado em homenagem ao matemático do século 18 Thomas Bayes.
- É frequentemente empregado em finanças na atualização da avaliação de risco.
Compreendendo o Teorema de Bayes
As aplicações do teorema são amplamente difundidas e não se limitam ao domínio financeiro. Como exemplo, o teorema de Bayes pode ser usado para determinar a precisão dos resultados dos testes médicos levando em consideração a probabilidade de uma determinada pessoa ter uma doença e a precisão geral do teste. O teorema de Bayes baseia-se na incorporação de distribuições de probabilidade anteriores para gerar probabilidades posteriores. A probabilidade anterior, na inferência estatística bayesiana, é a probabilidade de um evento antes que novos dados sejam coletados. Esta é a melhor avaliação racional da probabilidade de um resultado com base no conhecimento atual antes que um experimento seja realizado. A probabilidade posterior é a probabilidade revisada de um evento ocorrer após levar em consideração novas informações. A probabilidade posterior é calculada atualizando a probabilidade anterior usando o teorema de Bayes. Em termos estatísticos, a probabilidade posterior é a probabilidade de o evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu.
O teorema de Bayes, portanto, fornece a probabilidade de um evento com base em novas informações que estão, ou podem estar relacionadas, a esse evento. A fórmula também pode ser usada para ver como a probabilidade de ocorrência de um evento é afetada por novas informações hipotéticas, supondo que as novas informações se revelem verdadeiras. Por exemplo, digamos que uma única carta seja retirada de um baralho completo de 52 cartas. A probabilidade de a carta ser um rei é quatro dividido por 52, o que equivale a 1/13 ou aproximadamente 7,69%. Lembre-se de que existem quatro reis no baralho. Agora, suponha que seja revelado que a carta selecionada é uma carta de figura. A probabilidade de a carta selecionada ser um rei, por se tratar de uma carta com figura, é quatro dividido por 12, ou aproximadamente 33,3%, já que há 12 cartas com figura em um baralho.
Fórmula para o teorema de Bayes
Exemplos do Teorema de Bayes
Abaixo estão dois exemplos do teorema de Bayes em que o primeiro exemplo mostra como a fórmula pode ser derivada em um exemplo de investimento em ações usando Amazon.com Inc. ( AMZN ). O segundo exemplo aplica o teorema de Bayes aos testes de drogas farmacêuticas.
Derivando a Fórmula do Teorema de Bayes
O teorema de Bayes decorre simplesmente dos axiomas da probabilidade condicional. A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento, dado que outro evento ocorreu. Por exemplo, uma simples questão de probabilidade pode perguntar: “Qual é a probabilidade de o preço das ações da Amazon.com cair?” A probabilidade condicional leva esta questão um passo adiante, perguntando: “Qual é a probabilidade de o preço das ações da AMZN cair, dado que o índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) caiu antes?”
A probabilidade condicional de A, dado que B aconteceu, pode ser expressa como:
Se A for: “AMZN price cai” então P (AMZN) é a probabilidade de AMZN cair; e B é: “DJIA já caiu” e P (DJIA) é a probabilidade de que o DJIA caiu; então, a expressão de probabilidade condicional é lida como “a probabilidade de que AMZN caia dado um declínio do DJIA é igual à probabilidade de que o preço do AMZN diminua e o DJIA diminua sobre a probabilidade de uma redução no índice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN e DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN e DJIA) é a probabilidade de ambos A e B ocorrem. Isso também é o mesmo que a probabilidade de A ocorrer multiplicada pela probabilidade de B ocorrer dado que A ocorre, expressa como P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). O fato de essas duas expressões serem iguais leva ao teorema de Bayes, que é escrito como:
se, P (AMZN e DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
em seguida, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Onde P (AMZN) e P (DJIA) são as probabilidades de queda da Amazon e do Dow Jones, independentemente uma da outra.
A fórmula explica a relação entre a probabilidade da hipótese antes de ver a evidência de que P (AMZN), e a probabilidade da hipótese após obter a evidência P (AMZN | DJIA), dada uma hipótese para a Amazon dada evidência no Dow.
Exemplo Numérico do Teorema de Bayes
Como exemplo numérico, imagine que há um teste de drogas que é 98% preciso, o que significa que 98% das vezes mostra um resultado positivo verdadeiro para alguém que usa a droga e 98% das vezes mostra um resultado negativo verdadeiro para não usuários do medicamento. Em seguida, suponha que 0,5% das pessoas usam a droga. Se uma pessoa selecionada aleatoriamente apresentar resultados positivos para o medicamento, o seguinte cálculo pode ser feito para ver se a probabilidade de a pessoa ser realmente um usuário do medicamento.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
O teorema de Bayes mostra que, mesmo que uma pessoa tenha resultado positivo nesse cenário, é muito mais provável que a pessoa não seja usuária da droga.