O modelo Black-Scholes, também conhecido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), é um modelo matemático para precificar um contrato de opções. Em particular, o modelo estima a variação ao longo do tempo dos instrumentos financeiros.
Principais vantagens
O modelo Black-Scholes Merton (BSM) é uma equação diferencial usada para resolver preços de opções.
O modelo Black-Scholes ganhou o prêmio Nobel de economia.
O modelo BSM padrão é usado apenas para precificar opções europeias, pois não leva em consideração que as opções dos Estados Unidos poderiam ser exercidas antes da data de vencimento.
Compreendendo o modelo Black Scholes
O modelo Black-Scholes é um dos conceitos mais importantes da teoria financeira moderna. Foi desenvolvido em 1973 por Fischer Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda é amplamente utilizado hoje. É considerada uma das melhores formas de determinar o preço justo das opções. O modelo Black-Scholes requer cinco variáveis de entrada: o preço de exercício de uma opção, o preço atual da ação, o tempo até o vencimento, a taxa livre de risco e a volatilidade.
Também chamado de Black-Scholes-Merton (BSM), foi o primeiro modelo amplamente utilizado para precificação de opções. É usado para calcular o valor teórico das opções usando os preços atuais das ações, os dividendos esperados, o preço de exercício da opção, as taxas de juros esperadas, o tempo até o vencimento e a volatilidade esperada.
A equação inicial foi introduzida no artigo de Black and Scholes de 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liability”, publicado no Journal of Political Economy. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho na descoberta de um novo método para determinar o valor dos derivados.(O Prêmio Nobel não é concedido postumamente; no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no modelo Black-Scholes.)
Black-Scholes postula que instrumentos, como ações ou contratos futuros, terão uma distribuição lognormal de preços seguindo um passeio aleatório com deriva e volatilidade constantes. Usando essa suposição e levando em consideração outras variáveis importantes, a equação deriva o preço de uma opção de compra de estilo europeu.
As entradas para a equação de Black-Scholes são a volatilidade, o preço do ativo subjacente, o preço de exercício da opção, o tempo até o vencimento da opção e a taxa de juros livre de risco. Com essas variáveis, é teoricamente possível que os vendedores de opções estabeleçam preços racionais para as opções que estão vendendo.
Além disso, o modelo prevê que o preço dos ativos fortemente negociados segue um movimento browniano geométrico com deriva e volatilidade constantes. Quando aplicado a uma opção de compra de ações, o modelo incorpora a variação constante do preço da ação, o valor do dinheiro no tempo, o preço de exercício da opção e o tempo até o vencimento da opção.
Suposições Black-Scholes
O modelo Black-Scholes faz certas suposições:
A opção é europeia e só pode ser exercida no vencimento.
Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção.
Os mercados são eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos).
Não há custos de transação na compra da opção.
A taxa livre de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes.
Os retornos sobre o ativo subjacente são distribuídos normalmente.
Embora o modelo Black-Scholes original não considerasse os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é frequentemente adaptado para contabilizar os dividendos determinando o valor da data ex-dividendo das ações subjacentes. O modelo também é modificado por muitos formadores de mercado de venda de opções para contabilizar o efeito das opções que podem ser exercidas antes do vencimento. Alternativamente, as empresas usarão um modelo trinomial ou o modelo de Bjerksund-Stensland para a precificação das opções de estilo americano mais comumente negociadas.
Fórmula Black-Scholes
A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, você não precisa saber ou mesmo compreender a matemática para usar a modelagem Black-Scholes em suas próprias estratégias. Os negociantes de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line, e muitas das plataformas de negociação atuais possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que realizam os cálculos e geram os valores de precificação das opções.
A fórmula de opção de compra Black-Scholes é calculada multiplicando o preço das ações pela função de distribuição de probabilidade normal padrão cumulativa. Posteriormente, o valor presente líquido (NPV) do preço de exercício multiplicado pela distribuição normal padrão cumulativa é subtraído do valor resultante do cálculo anterior.
Em notação matemática:
Inclinação da Volatilidade
Black-Scholes assume que os preços das ações seguem uma distribuição log – normal porque os preços dos ativos não podem ser negativos (eles são limitados por zero). Isso também é conhecido como distribuição gaussiana.
Freqüentemente, observa-se que os preços dos ativos apresentam assimetria direita significativa e algum grau de curtose (caudas grossas). Isso significa que movimentos de queda de alto risco geralmente acontecem com mais frequência no mercado do que prevê uma distribuição normal.
A suposição de preços de ativos subjacentes lognormal deve mostrar que as volatilidades implícitas são semelhantes para cada preço de exercício de acordo com o modelo Black-Scholes. No entanto, desde o crash do mercado em 1987, as volatilidades implícitas para as opções at-the-money têm sido menores do que aquelas que estão mais fora do dinheiro ou mais dentro do dinheiro. A razão para esse fenômeno é que o mercado está precificando uma maior probabilidade de um movimento de alta volatilidade para o lado negativo nos mercados.
Isso levou à presença de distorção da volatilidade. Quando as volatilidades implícitas para opções com a mesma data de vencimento são mapeadas em um gráfico, uma forma de sorriso ou inclinação pode ser vista. Assim, o modelo de Black-Scholes não é eficiente para calcular a volatilidade implícita.
Limitações do modelo Black-Scholes
Conforme afirmado anteriormente, o modelo Black-Scholes é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em consideração que as opções dos Estados Unidos poderiam ser exercidas antes da data de vencimento. Além disso, o modelo assume que dividendos e taxas livres de risco são constantes, mas isso pode não ser verdade na realidade. O modelo também assume que a volatilidade permanece constante ao longo da vida da opção, o que não é o caso porque a volatilidade flutua com o nível de oferta e demanda.
Além disso, as outras premissas – que não há custos de transação ou impostos; que a taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos; que a venda a descoberto de títulos com uso de recursos é permitida; e que não há oportunidades de arbitragem sem risco – pode levar a preços que se desviam do mundo real onde esses fatores estão presentes.
perguntas frequentes
O que o modelo Black-Scholes faz?
Black-Scholes, também conhecido como Black-Scholes-Merton (BSM), foi o primeiro modelo amplamente utilizado para precificação de opções. Com base na suposição de que instrumentos, como ações ou contratos futuros, terão uma distribuição lognormal de preços após um passeio aleatório com flutuação e volatilidade constantes e levando em consideração outras variáveis importantes, a equação deriva o preço de uma opção de compra de estilo europeu opção. Ele faz isso subtraindo o valor presente líquido (VPL) do preço de exercício multiplicado pela distribuição normal padrão cumulativa do produto do preço da ação e a função de distribuição de probabilidade normal padrão cumulativa.
Quais são as entradas para o modelo Black-Scholes?
As entradas para a equação de Black-Scholes são a volatilidade, o preço do ativo subjacente, o preço de exercício da opção, o tempo até o vencimento da opção e a taxa de juros livre de risco. Com essas variáveis, é teoricamente possível que os vendedores de opções estabeleçam preços racionais para as opções que estão vendendo.
Que suposições o modelo Black-Scholes faz?
O modelo Black-Scholes faz certas suposições. O principal deles é que a opção é europeia e só pode ser exercida no vencimento. Outras premissas são de que nenhum dividendo é pago durante a vida da opção; os mercados são eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos); que não há custos de transação na compra da opção; que a taxa livre de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes; e que os retornos sobre o ativo subjacente são distribuídos log-normalmente.
Quais são as limitações do modelo Black-Scholes?
O modelo Black-Scholes é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em consideração que as opções dos Estados Unidos poderiam ser exercidas antes da data de vencimento. Além disso, o modelo assume que dividendos e taxas livres de risco são constantes, mas isso pode não ser verdade na realidade. O modelo também assume que a volatilidade permanece constante ao longo da vida da opção, o que não é o caso porque a volatilidade flutua com o nível de oferta e demanda.
Além disso, as outras premissas – que não há custos de transação ou impostos; que a taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos; que a venda a descoberto de títulos com uso de recursos é permitida; e que não há oportunidades de arbitragem sem risco – pode levar a preços que se desviam do mundo real onde esses fatores estão presentes.
